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长沙银行开通手机短信是收费的。普通账户变动通知服务是免费的，但某些特定的短信通知服务可能需要收费。具体收费标准可能因不同的服务和账户类型而有所不同，建议咨询长沙银行的工作人员获取最准确的收费信息。

银行可能会提供不同的短信通知服务套餐，可以根据个人需求选择合适的套餐，关于具体的收费标准和服务内容，也可能会有变动，因此建议及时与长沙银行进行确认。